In der Architektur gibt es mathematische Berechnungen für Gebäudegebäude, von denen eines ein lineares Gleichungssystem ist. Das System linearer Gleichungen ist nützlich, um die Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen. Richtige Koordinaten sind wichtig, um ein Gebäude zu erstellen, das der Skizze entspricht. In diesem Artikel werden wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen (SPLTV) diskutieren.
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit drei Variablen. Die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit drei Variablen ist wie folgt.
ax + by + cz = d
a, b, c und d sind reelle Zahlen, aber a, b und c können nicht alle 0 sein. Die Gleichung hat viele Lösungen. Eine Lösung kann erhalten werden, indem ein beliebiger Wert mit den beiden Variablen gleichgesetzt wird, um den Wert der dritten Variablen zu bestimmen.
Ein Wert (x, y, z) ist die Menge von Lösungen für ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen, wenn der Wert (x, y, z) die drei Gleichungen in SPLTV erfüllt. Der SPLTV-Abrechnungssatz kann auf zwei Arten bestimmt werden, nämlich durch die Substitutionsmethode und die Eliminierungsmethode.
Substitutionsmethode
Die Substitutionsmethode ist eine Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme durch Ersetzen des Werts einer Variablen von einer Gleichung in eine andere. Diese Methode wird durchgeführt, bis alle variablen Werte in einem linearen Gleichungssystem mit drei Variablen erhalten wurden.
(Lesen Sie auch: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen)
Die Substitutionsmethode ist bei SPLTV einfacher zu verwenden, das Gleichungen mit einem Koeffizienten von 0 oder 1 enthält. Hier sind die Schritte zum Lösen der Substitutionsmethode.
- Finden Sie eine Gleichung mit einfachen Formen. Gleichungen in einfacher Form haben einen Koeffizienten von 1 oder 0.
- Drücken Sie eine Variable in Form der beiden anderen Variablen aus. Zum Beispiel wird die Variable x als Variable y oder z ausgedrückt.
- Ersetzen Sie die im zweiten Schritt erhaltenen Variablenwerte durch andere Gleichungen in SPLTV, so dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen (SPLDV) erhalten wird.
- Bestimmen Sie die in Schritt drei erhaltene SPLDV-Abrechnung.
- Bestimmen Sie die Werte aller unbekannten Variablen.
Lassen Sie uns das folgende Beispielproblem machen. Bestimmen Sie den Lösungssatz für das folgende lineare Variablensystem mit drei Variablen.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Zunächst können wir Gleichung (1) in Gleichung (4) umwandeln, z = -x - y - 6. Dann können wir Gleichung (4) wie folgt in Gleichung (2) einsetzen.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Danach können wir Gleichung (4) wie folgt durch Gleichung (3) ersetzen.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Wir haben die Werte für x = -5 und y = -3. Wir können es in Gleichung (4) einfügen, um den z-Wert wie folgt zu erhalten.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
Wir haben also die Menge der Lösungen (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Eliminierungsmethode
Die Eliminierungsmethode ist eine Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme durch Eliminieren einer der Variablen in zwei Gleichungen. Diese Methode wird ausgeführt, bis nur noch eine Variable übrig ist.
Die Eliminierungsmethode kann in allen Systemen mit drei variablen linearen Gleichungen verwendet werden. Diese Methode erfordert jedoch einen langen Schritt, da bei jedem Schritt nur eine Variable entfernt werden kann. Es sind mindestens 3 Eliminierungsmethoden erforderlich, um den SPLTV-Abrechnungssatz zu bestimmen. Diese Methode ist in Kombination mit der Substitutionsmethode einfacher.
Die Schritte zum Auflösen unter Verwendung der Eliminierungsmethode sind wie folgt.
- Beachten Sie die drei Ähnlichkeiten bei SPLTV. Wenn es zwei Gleichungen mit demselben Koeffizienten für dieselbe Variable gibt, subtrahieren oder addieren Sie die beiden Gleichungen, sodass die Variable einen Koeffizienten von 0 hat.
- Wenn keine der Variablen den gleichen Koeffizienten hat, multiplizieren Sie beide Gleichungen mit der Zahl, die den Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen gleich macht. Subtrahieren oder addieren Sie die beiden Gleichungen, sodass die Variable einen Koeffizienten von 0 hat.
- Wiederholen Sie Schritt 2 für andere Gleichungspaare. Die in diesem Schritt ausgelassene Variable muss mit der in Schritt 2 ausgelassenen Variablen übereinstimmen.
- Nachdem Sie im vorherigen Schritt zwei neue Gleichungen erhalten haben, bestimmen Sie den Lösungssatz für die beiden Gleichungen mithilfe der SPLDV-Lösungsmethode (Two-Variable Linear Equation System).
- Ersetzen Sie den Wert der beiden in Schritt 4 erhaltenen Variablen durch eine der SPLTV-Gleichungen, sodass der Wert der dritten Variablen erhalten wird.
Wir werden versuchen, die Eliminierungsmethode im folgenden Problem zu verwenden. Bestimmen Sie den Satz von SPLTV-Lösungen!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV kann den Satz von Lösungen durch Eliminieren der Variablen z bestimmen. Addieren Sie zunächst die Gleichungen (1) und (2), um Folgendes zu erhalten:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Dann multiplizieren Sie 2 in Gleichung (2) und 1 in Gleichung (1), um Folgendes zu erhalten:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
Nachdem Sie den Wert von x kennen, ersetzen Sie ihn wie folgt durch Gleichung (4).
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Ersetzen Sie die x- und y-Werte in Gleichung (2) wie folgt.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Damit ist die Menge der SPLTV-Lösungen (x, y, z) (5, 3, -1).
