Mathematische Logik ist ein Zweig der Logik und Mathematik, der das mathematische Studium der Logik und die Anwendung dieses Studiums auf andere Bereiche außerhalb der Mathematik enthält. Die mathematische Logik ist eng mit der Informatik und der philosophischen Logik verbunden, wobei die Hauptthemen die Ausdruckskraft der formalen Logik und die deduktive Kraft formaler Beweissysteme sind. Die mathematische Logik wird häufig in Zweige aus Mengenlehre, Modelltheorie, Rekursionstheorie, Beweistheorie und konstruktiver Mathematik unterteilt. Diese Felder haben die gleichen grundlegenden logischen Ergebnisse.
Aussage
In der mathematischen Logik lernen wir, den Wert einer Aussage zu bestimmen. Die Aussage selbst ist ein Satz, der mit Sicherheit einen wahren Wert hat oder einen bestimmten Wert, der falsch ist, aber nicht beides.
Geschlossene und offene Erklärung
Anweisungen werden dann weiter in zwei Typen unterteilt: geschlossene Aussage (geschlossener Satz) und offene Aussage (offener Satz). Eine geschlossene Aussage ist eine Aussage, deren Wahrheitswert sicher ist, während eine offene Aussage eine Aussage ist, deren Wahrheitswert ungewiss ist.
Beispiele für Aussagen:
- 9 ist eine ungerade Zahl >> diese Aussage ist wahr
- Jakarta ist die Hauptstadt von Indien >> diese Aussage ist falsch
In der mathematischen Logik werden Anweisungen durch die Buchstaben p, q oder r dargestellt.
Offener Satz ist ein mathematischer Satz, der keinen Wahrheitswert hat. Dieser Satz enthält immer Variablen.
Beispiele für offene Sätze:
- A ist als Stadt des Regens bekannt
- Atha geht wegen Krankheit nicht zur Schule
Im Gegensatz zu geschlossenen Sätzen, bei denen der Wahrheitswert ermittelt werden kann, sind offene Sätze, wahr und falsch, immer noch fraglich. Daher kann dieser Satz nicht als Aussage bezeichnet werden.
Ein offener Satz kann in eine Anweisung umgewandelt werden, wenn die Variablen im Satz durch einen Wert ersetzt werden, sodass der Satz einen Wahrheitswert hat.
Beispiel:
Eine als Stadt des Regens bekannte ist ein offener Satz, während
Bogor ist bekannt als die Stadt des Regens ist ein Satz
Negation
Nachdem Sie verstanden haben, was eine Aussage ist und was ein offener Satz ist, besteht der nächste Schritt darin, die Negation zu diskutieren.
Negation oder auch Verleugnung / Verleugnung genannt, ist eine Aussage, die leugnet, was gegeben ist. Der Anweisungsspeicher kann durch Hinzufügen von "Es ist nicht wahr, dass ..." vor der abgelehnten Anweisung gebildet werden. Dies wird mit ~ bezeichnet.
Sagen Sie, p ist wahr, dann ist ~ p falsch. Umgekehrt, wenn p falsch ist, dann ist ~ p wahr.
Beispiel für die Negation der Aussage:
- Jakarta ist die Hauptstadt von Malaysia
Jakarta ist nicht die Hauptstadt von Malaysia
- 9 ist eine ungerade Zahl
9 ist keine ungerade Zahl
Zusammengesetzte Aussagen
Anschließend wird die Anweisung in zusammengesetzte Anweisungen unterteilt, die in diesem Fall in verschiedene Typen unterteilt sind:
- Verbindung
- Disjunktion
- Implikationen
- Biimplikation
1. Konjunktionen
Verbindung, die mit (Ʌ) bezeichnet wird, ist eine Majemauk-Aussage mit dem Konjunktiv "und". Es ist wahr, wenn die Variablen wahr sind, und falsch, wenn eine der Variablen falsch ist.
Beispiel:
p: Jakarta ist die Hauptstadt der Welt (Aussage mit wahrem Wert)
F: Jakarta ist eine Metropole (Aussage mit wahrem Wert)
p ^ q: Jakarta ist die Hauptstadt der Welt und eine Metropole (Aussage mit wahren Werten)
2. Disjunktion
Disjunktion, die mit (V) bezeichnet wird, ist eine zusammengesetzte Anweisung, die durch Kombinieren von zwei einzelnen Anweisungen unter Verwendung der Konjunktion "oder" gebildet wird. Eine Disjunktion ist wahr, wenn eine der Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.
Beispiel:
p: Jakarta ist die Hauptstadt der Welt (Aussage mit wahrem Wert)
F: Jakarta ist eine Stadt der Studenten (Aussage mit falschem Wert)
pVq: Jakarta ist die Hauptstadt der Welt oder Studentenstadt (Aussage mit wahrem Wert)
3. Implikationen
Implikationen sind zwei Fragen p und q, die in Form des Satzes "wenn p dann q" ausgedrückt werden. Dies wird mit p -> q bezeichnet.
Beispiel:
p: Atha studiert fleißig (Aussage mit wahrem Wert)
q: Ata hat mit einer brillanten Punktzahl bestanden (wahre Wertaussage)
p-> q: Wenn Atha fleißig studiert, wird Atha mit einer brillanten Punktzahl bestehen (Aussage mit wahrem Wert)
4. Biimplikationen
Biimplikation ist eine zusammengesetzte Aussage, die in Form des Satzes "... genau dann, wenn" angegeben wird. Dies wird mit p q bezeichnet, lesen Sie "p genau dann, wenn q".
Beispiel:
p: 1 + 1 = 2 (Aussage ist wahr)
q: 2 ist eine ungerade Zahl (falsche Aussage)
pq: 1 + 1 = 2 genau dann, wenn 2 eine ungerade Zahl ist (falsche Wertangabe)
