Mathe bekommt Stigma beängstigend für Schüler, obwohl je mehr Sie Mathematik lernen und üben, desto mehr Spaß und Spaß macht es. GutJetzt laden wir Sie ein, mehr über die mathematische Induktion zu erfahren. Was ist mathematische Induktion und wofür wird sie verwendet?
Die mathematische Induktion selbst kann als Beweismethode in der Mathematik interpretiert werden. Es wird verwendet, um spezielle Aussagen zu beweisen, die natürliche Zahlen enthalten. Der Nachweis mit dieser Methode führt zu allgemeinen Schlussfolgerungen.
Einführung in die mathematische Induktion
Beim Nachweis mit mathematischer Induktion werden allgemeine Schlussfolgerungen gezogen. Es gibt zwei Arten von Argumenten, die verwendet werden, um Schlussfolgerungen zu ziehen, nämlich deduktives Denken und induktives Denken.
- Deduktives Denken ist ein Denken, das von allgemeinen Aussagen bis zu spezifischen Aussagen reicht. Dieser Ansatz wird als "allgemein-spezifischer" Ansatz bezeichnet, da das Denken mit der allgemeinen Sache beginnt und dann mit bestimmten Dingen endet. Beispiel; Alle Äpfel sind Früchte, alle Früchte wachsen auf Bäumen, also wachsen alle Äpfel auf Bäumen.
- Induktives Denken ist ein Denken, das von bestimmten Aussagen bis zu allgemeinen Aussagen reicht. Dieser Ansatz wird als „allgemein-spezifischer“ Ansatz bezeichnet, da Aussagen aus bestimmten Punkten bestehen, um zu allgemein akzeptierten Schlussfolgerungen zu gelangen. Beispiel; Ein Busfahrgast beobachtet, dass jedes Mal, wenn der Busfahrer auf das Bremspedal tritt, alle Fahrgäste im Bus nach vorne geschoben werden.
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Darüber hinaus kann die mathematische Induktionsmethode verwendet werden, um die Wahrheit einer speziellen Hypothese zu beweisen, so dass sie allgemein akzeptiert wird. Diese Methode wird also als Beweis für das induktive Denken verwendet.
Anwendung der mathematischen Induktion
Die Anwendung der mathematischen Induktion findet sich in verschiedenen Bereichen der Mathematik. In der Mathematik angeordnete Hypothesen müssen bewiesen werden, um allgemein akzeptiert zu werden. Eine Hypothese ist allgemein gültig, wenn sie sich für alle verwendeten Zahlenwerte als wahr erweist. Hier ist ein Beispiel für eine Aussage, die auf diese Weise bewiesen werden kann.
Man beweise, dass die Summe der -n ungeraden Zahlenreihen n2 ist. Wobei n eine natürliche Zahl ist.
Abrechnung: P.n= 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 gilt für jedes n € A.
Der grundlegende Schritt: Für n = 1 erhalten wir, dass P1 = 1 = 12 korrekt ist.
Induktionsschritt: Angenommen, für n = k, P.k wahrer Wert. Es wird gezeigt, dass für n = k + 1 P.(k + 1) = (k + 1) 2 ist wahr.
Beachten Sie die folgenden Schritte:
Für n = k gilt dann P.k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 ist wahr.
Durch Hinzufügen von [2 (k + 1) -1] zu den beiden Seiten
P.(k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (bewiesen)
Prinzipien der mathematischen Induktion
Sei P (n) eine Aussage, die natürliche Zahlen enthält. Der Ausdruck P (n) kann für alle natürlichen Zahlen n als wahr erwiesen werden, indem die Schritte der mathematischen Induktion befolgt werden.
Im Folgenden sind die Schritte zum Nachweis mit dieser Methode aufgeführt:
- Man beweise, dass P (1) wahr ist oder P (n) wahr ist für n = 1.
- Wenn P (k) wahr ist, dann ist Show P (k + 1) wahr für jede positive ganze Zahl k.
Wenn die Schritte (1) und (2) korrekt sind, kann geschlossen werden, dass P (n) für jede natürliche Zahl n wahr ist. Schritt 1 wird als Basisschritt bezeichnet, während Schritt 2 als Induktionsschritt bezeichnet wird.
